空瓶兑换中的数学模型问题
黑龙江阿城五中　王彦斌
阿城继电器厂中学　王元

　　Ⅰ 问题

　　某校开运动会，打算发给1991位学生每人一瓶汽水，由于商店规定每7个空瓶可换一瓶汽水，所以不必买1991瓶汽水，但最少要买________瓶汽水．(上海市第四届小学数学竞赛六年级复赛试题)

　　Ⅱ 解法

　　因为73=343＜1991＜2401=74，不考虑余数，能用空瓶换三次汽水，由于每7个空瓶可换一瓶汽水，原有空瓶不一定能被7整除，那么第二次以后换时要考虑上一次余数，最多能用空瓶换四次汽水，所以，最少要买1707瓶汽水．

　　Ⅲ　建立模型与新解法

　　解决问题，就是要先从简单、特殊情形开始，进行有效的归纳，然后作合理的猜想．

　　第一次，按问题给出的兑换率7(设为a₀=7)，开始初步归纳，如果最少买7瓶，喝完就可兑换一次(可兑换次数n)，即此时，可使8人(最大量为b_n)喝到汽水，下面以表显示．

　　这实际上已经回到已学过的数列知识范围，上述归纳结果的证明请读者自己给出。

　　
　　由此可得解法二：

　　由b_n=1991=8+(n－1)7，解得最大的n=284，71983^[注]=1991－8，有2个空瓶余数，留待下次一起兑换．

　　a₂₈₄=7+(284－1)×6=1705．

　　而此时，再加上兑换余数，即这样，最少应是

1705+2=1707．

　　为了使用已得到的模型，再给出以下问题请同学们解决它．

　　1．5个空瓶可换一瓶汽水，某班同学为了喝161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水______瓶．(哈尔滨市1994年小学数学奥林匹克决赛试题)．

　　2．某校有1996位学生，开运动会买了1996瓶汽水供应他们，由于商店规定每7个空瓶可换一瓶汽水，所以，同学们每喝完7瓶汽水就去兑换一瓶汽水，这样他们直到不能再兑换时，最多可换得多少瓶汽水？

摘自《中山教育信息网》