关于称球问题
中国人民大学附中初三(9)班　马昕

　　先看一道题：

　　例1
　　有两种重量(设分别为p和q，且p＞q)的球五个，涂红、白、黑三种颜色．其中，有两个红球重量不同；两个白球重量也不同；一个黑球不知它的重量是p还是q．由于从外形上不能确定球的轻重，请你用一台无砝码的天平(只能比较轻重，不能称出具体重量)称两次，将5个球的轻重分出．试叙述你的称球办法，并说明理由．(1984年全国初中数学联赛试题)。

　　解
　　用x₁和x₂代表红球，y₁、y₂代表白球，z表示黑球．以后均以a｜b为称重(a、b为任意球)，＞、＜、=分别表示左重、左轻、重量相等。

　　
　　
　　

　　综上所述，本题已解完．

　　上题是最简单的一类称球问题，下题是较难题目．

　　例2
　　12个球中有一件次品，次品的重量与正品重量不同．现有一个不带砝码的天平，能否利用该天平称3次找出次品，并且判断出次品比正品轻还是重？

　　解　可以称出．

　　首先将12件产品依次标号为：①、②、③、……、⑩、(11)、(12)，并分成三组①、②、③、④；⑤、⑥、⑦、⑧；⑨、⑩、(11)、(12)．

　　先称①、②、③、④｜⑤、⑥、⑦、⑧．

　　(1)①＋②＋③＋④=⑤＋⑥＋⑦＋⑧．

　　再称⑥、⑦、⑧｜⑨、⑩、(11)．

　　(a)若⑥＋⑦+⑧=⑨+⑩+(11)，则次品是(12)．

　　第3次称(11)｜(12)，判断次品是轻是重．

　　(b)若⑥＋⑦＋⑧＞⑨＋⑩+(11)，则次品在⑨＋⑩+(11)中．

　　称⑨｜⑩，若等，则(11)为次品且轻；若不等，则轻为次品．

　　(c)若⑥+⑦+⑧＜⑨＋⑩+(11)，推理过程与(b)同．

　　(2)①＋②+③+④≠⑤＋⑥＋⑦＋⑧．

　　不妨设①＋②＋③＋④＞⑤＋⑥＋⑦+⑧，反之亦然．

　　称①、②、⑤｜③、④、⑥．

　　(a)若等，则次品在⑦、⑧中且轻，再称⑦｜⑧，轻者为次品．

　　(b)若不等，则次品在①～⑥中．

　　不妨设①＋②+⑤＞③＋④＋⑥，反之亦然．

　　称②、③、⑤｜①、④、⑦．

　　(i)若等，则①～⑤为正品，故⑥为次品且轻．

　　(ii)若②＋③＋⑤＞①＋④＋⑦．

　　若次品重，则次品在｛②、③、⑤｝∩｛①、②、⑤｝∩｛①、②、③、④｝=｛②｝．

　　若次品轻，则次品在｛③、④、⑥｝∩｛①、④、⑦｝∩｛⑤、⑥、⑦、⑧｝＝

　　(iii)若②＋③＋⑤＜①+④+⑦，则与(ii)类同．

　　综上所述，本题已解完．

　　我们现在来把问题推广．

　　(1)若知B和A质量不同，且B为次品．A为正品，

　　问称n次最多能从几个球中找出B球？(球数＞2)

　　为了解答这个问题，我们先来解决下面问题：

　　(2)在(1)的条件下，假定要测球分为两个集合：T₁=｛t｜若t是B，则G(t)＞G(A)｝

T₂=｛t｜若t是B，则G(t)＜G(A)｝

　　其中G(A)、G(t)表示A、t质量，已确定A可放入任一集合．设称重n次，至多可从Cn个球中找出B，求Cn．

　　本问题可分类讨论，可分为n=1，n=2，n＞2三种情况，这里只给出n＞2的情况和相关结论．

　　当n＞2时，只须把分组改为：T₁(1)＋T₂(2)≤C_n-1，T₂(1)＋T₁(2)≤C_n-1，T₁(3)＋T₂(3)≤C_n-1(T₁(i)、T₂(i)表示(i)组在T₁和T₂中元素集合)．

　　结论：C_n=3C_n-1=3ⁿ．

　　对于问题(1)，请读者思考解法．

　　称球问题还有许多类型，可以导出不少结论．希望感兴趣的同学多多思考研究．

　　(本文作者获第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二年级二等奖．)

摘自《中山教育信息网》