第二章 有理数

[重点、难点点拨]

一、有理数

1、有理数的分类

　　正数和零统称非负数，而负数和零又统称非正数。
　　在再有理数中没有最大的数，也没有最小的数，但有最大的负整数-1，有最小的正整数1。

　　2.关于"0"

　　"0"是一个整数，也是一个偶数，零与正整数、负整数合起来组成整数集合。"0"可以表示没有的意思，有时用来确定的量，例如0℃。"0"还是正数和负数的分界数。

　　二、数轴

　　1.数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。

　　2.数轴是数形结合的基础。

　　三、相反数

　　1.自由符号不同的两个数互为相反数；

　　2.零的相反数是零.

　　3.两个相反数之和为零。

　　四、绝对值

　　绝对值的定义可以以三个不同角度表述：

　　1.语言表述：一个正数的的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

　　2.数学式子表述：

　　3.几何意义表述：一个数的绝对值就是表示这个数的对应点离开原点的距离。

　　五、有理数大小的比较

　　所有的有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

　　正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小。

　　六、有理数的运算

　　1.有理数运算法则总结表：

续表

　　2.有理数的乘方：求几个相同因数的的积的运算，叫做乘方。正数的任何次幂数是正数；负数的奇次幂数是负数，负数的偶次幂是正数。

　　3.有理数的混合运算：

　　运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后加、减，如果有括号就先算括号里面的。

　　4.运算律：

　　加法交换律：a+b=b+a

　　加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

　　乘法交换律：ab=ba

　　乘法结合律：(ab)c=ab+ac

　　乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

　　七、科学计数法

　　把一个大于10的数写成 的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种计数法叫做科学计数法。

　　八、近似数与有效数字

　　一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，以左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

　　九、平方表与立方表

[重点、难点例题分析]

　　例1 把下列各数填在相应的大括号里：

分析：必须明确每种数的含义，按有理数的分类表去填。

　　例2 在数轴上标出下列各数的点：

分析：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，画数轴时应根据题目给出的特点，合理地选择原点位置和单位长度。

解：如图2-1。

例3 填空：

(1) -3.2是_____的相反数，_______的相反数是0.7，与________互为相反数。

(2)∣a ∣＝18,则a＝____________。

分析：(1)题用数轴可以直观地理解相反数的概念；数轴原点两侧对称的点所代表的两个数互为相反数。(2)题用绝对值的概念去做，有两个解。

例4 求绝对值小于3.5的整数。

分析：用数轴来解题，体现了数形结合的思想，开拓了解题思路。

解：如图2-2。

答：绝对值小于3.5的整数有-3,-2,-1,0,1,2,3.

例6 解下列问题：

（1）大于-4而小于5的所有整数的和；

（2）绝对值大于1而小于4的所有正整数；

（3）绝对值不大于4而不小于2的所有整数的积；

（4）全体整数共有多少个？它们的和是几？

分析：可结合数轴来解题，分清题中"大于"与"小于"的区别。

解：

（1）以图2-3可知满足条件的整数有：-3、-2、-1、0、1、2、3、4。

∵以上数中+3与-3，+2与-2，+1与-1均互为相反数，其和为0。

∴满足条件的整数只剩0和4，它们的和为4。

（2）依上题可知满足条件的只有2、3（如图2-4）。

（3）如图2-5可知满足条件的整数有-4、-3、-2、2、3、4，它们的积为：

（-4）×（-3）×（-2）×2×3×4=-576。

（4）∵有理数中整数有无数多个，但除0外它们均两两互为相反数，如±1、±2、……、±n，（n是自然数），其和为0。

例7 已知有理数a、b在数轴上对应的点如图2-6求

分析：（1）题只有加减运算，可用加法交换律、结合律使运算简便。

（2）注意运算顺序、同级运算要自左向右进行。

（3）分清负数的奇次方、偶次方及运算顺序。

（4）有理数混合运算要注意运算顺序。

（5）可用乘法分配律使运算简便。

解：（1）（+2.5）-（+6.8）+（-7.2）-（-4.5）-（-3）

=（+2.5）+（-6.8）+（-7.2）+（+4.5）+（+3）

=[（+2.5）+（+4.5）+（+3）]+[（-6.8）+（-7.2）]

=10-14

= -4

参考答案