第二节映射与函数
(一) 知识概要
1 映射
设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则ｆ，对于集合A中的任何一个元素ａ，在集合B中都有唯一的元素ｂ和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射.
记作：ｆ：Ａ→Ｂ.
2 单射
若映射ｆ：Ａ→Ｂ同时满足条件：Ａ中不同的元素，在B中有不同的象，简单记作ｘ１，ｘ２∈Ａ，且ｘ１≠ｘ２，则ｙ１，ｙ２∈Ｂ，且ｙ１≠ｙ２，有：ｘ１≠ｘ２ｙ１≠ｙ２，这样的映射称为单射.
3 满射
若映射ｆ：Ａ→Ｂ同时满足条件：B中每个元素在A中都有原象. 记作：ｙ∈Ｂ，ｘ∈Ａ，使ｆ：ｘ→ｙ，这样的映射称为满射.
4 一一映射
若映射ｆ：Ａ→Ｂ既是单射，又是满射，则称它是从A到B上的一一映射.
5 逆映射
如果映射ｆ：Ａ→Ｂ是从A到B上的一一映射，那么对于B中每一元素ｂ，使得ｂ在A中的原象与之对应的映射，就叫做映射ｆ：Ａ→Ｂ的逆映射，记作ｆ-1：Ｂ→Ａ.
注意：(1) 从集合A到集合B的映射应这样理解：集合A中的每个元素在集合B中都有象，并且象是唯一的. 但不要求集合B中的每个元素在集合A中都有原象. 若集合B中的元素在集合A中有原象，那么这个元素的原象可以是一个，也可以多于一个. (2) 欲判断一个对应是一一映射，应首先判定它是映射，进而还必须判定它是单射和满射. (3) 只有一一映射才存在逆映射. 一一映射的逆映射仍然是一一映射. 一个映射与它的逆映射互为逆映射.
6 函数
若A、B都是非空数集，称映射ｆ：Ａ→Ｂ为定义在A上的函数，记作ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈Ａ，A称为函数的定义域. ｘ的象的集合B′称为函数的值域，(B′
Ｂ).
7 反函数
如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）是从定义域到值域上的一一映射，则它的逆映射所确定的函数ｙ＝ｆ-1（ｘ）称为该函数的反函数.
对函数定义及反函数定义着重理解：
(1) 函数是从数集到数集的映射.
(2) 在一般的映射中，不要求B中的每个元素都有原象，而函数这种特殊的映射则要求B中的每个元素都必须有原象.
(3) 给出一个函数必须同时给出定义域和对应法则. 定义域和对应法则是函数的两个决定性要素. 只有定义域和法则完全相同的两个函数才是同一个函数.
(4) 函数的定义域和值域刚好是它的反函数的值域和定义域.
(5) ｆ（ｘ）存在反函数的充要条件是确定它的映射是一一映射.
(6) ｙ＝ｆ（ｘ）的图象和ｙ＝ｆ-1（ｘ）的图象，关于直线ｙ＝ｘ成轴对称图形.
8 函数的单调性
对于给定区间上的函数ｆ（ｘ），若对于属于这个区间的任意两个自变量的值ｘ１、ｘ２，当ｘ１＜ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２），那么就说ｆ（ｘ）在这个区间上是增函数.
当ｘ１＜ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ2），那么就说ｆ（ｘ）在这个区间上是减函数.
9 函数的奇偶性
对于函数ｆ（ｘ），若对于函数定义域内的任意一个ｘ，都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），那么函数ｆ（ｘ）就叫做偶函数. 若对于函数定义域内的任意一个ｘ都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），那么函数ｆ（ｘ）就叫做奇函数.
对于函数的奇偶性定义应着重理解：
(1) ｘ和－ｘ同在定义域内.
(2) 定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的必要条件.
(3) 定义域不关于原点对称的函数，一定不是奇函数，也不是偶函数.
10 函数的周期性
已知函数ｙ＝ｆ（ｘ），若存在非零常数T，使得对函数定义域内的任意ｘ，ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）恒成立，则称ｆ（ｘ）为周期函数，T叫做该函数的周期.
对周期函数的定义应着重理解：
(1) 定义域是无界区域，是函数为周期函数的必要条件.
(2) 定义域为有限区间的函数，不可能是周期函数.
11 函数的图象变换
(1) 平移变换.函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｍ）的图象，是函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象沿ｘ轴平移｜ｍ｜个单位得到的. ｍ＞０为向左平移，ｍ＜０为向右平移.
函数ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｍ的图象，是函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象沿ｙ轴平移｜ｍ｜个单位得到的. ｍ＞０为向上平移，ｍ＜０为向下平移.
(2) 对称变换.函数ｙ＝ｆ（－ｘ）的图象与ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于ｙ轴对称. 函数ｙ＝－ｆ（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于ｘ轴对称.
函数ｙ＝－ｆ（－ｘ）与ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于原点对称.
(3) 伸缩变换.ｙ＝ｆ（ａｘ），（ａ＞０）的图象，是将函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上的每一个点的纵坐标不变，而将其横坐标变为原来的1/a，得到的点的集合，就是y=ｆ（aｘ）,(a＞0)的图象.
也就是说，将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象向ｙ轴上压缩(或伸长)，当ａ＞1时，向ｙ轴上压缩，当０＜ａ＜１时，是原图象ｙ轴上的点不动，而将图象向ｘ轴的正、负两个方向上拉长；此种变换称之为横向伸缩变换.
ｙ＝ａｆ（ｘ），（ａ＞０）的图象，是将函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上的每一点的横坐标不变，而将其纵坐标变为原来的ａ倍，所得到点的集合，就是ｙ＝ａｆ（ｘ），（ａ＞０）的图象.
也就是说，将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象向ｘ轴上压缩(或伸长)，当ａ＞１时，原图象ｘ轴上的点不动，将图象向ｙ轴的正、负方向伸长；当０＜ａ＜１时，是将ｙ＝ｆ（ｘ）图象向ｘ轴上压缩，这种变换称之为纵向伸缩变换.
(4) 翻折变换.函数y=｜ｆ（ｘ）｜的图象是将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象原在ｘ轴及其上方的图象不变，而将其在ｘ轴下方的部分，以ｘ轴为折痕向上翻转180°而得到的曲线，就是ｙ＝｜ｆ（ｘ）｜的图象，如图１－５所示，其中图(ａ)是ｙ＝ｆ（ｘ）图象，图（ｂ）是ｙ＝｜ｆ（ｘ）｜的图象.
函数ｙ＝ｆ（｜ｘ｜）的图象，是将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象在ｙ轴上及其右侧的图象不变. 而把原图象在ｙ轴左侧的部分去掉，代之以ｙ＝ｆ（ｘ）在ｙ轴右侧部分关于ｙ轴对称的图形.
12 函数定义域及值域的求法
求函数的定义域
(6) 若同时出现几种情况，则分别找出各自的定义域，然后求交集.
求函数的值域
(1) 配方法.
(2) 判别式法.
(3) 反函数法. 利用反函数的定义域为原函数的值域.
(4) 平均值法. 注意平均值定理中等号成立的条件.
(5) 三角代换法. 注意三角代换条件，及角的取值范围.
(6) 数形结合法. 赋予代数式以几何意义.
(7) 利用函数的单调性.