学习新技术 领会新课程(续)

　　六、数学实验的主要类型
　　借助计算机的强大功能，可以对中学数学进行广泛深入的研究，数值计算、数式的化简、图形的变换、曲线的研究、数学建模、问题解决等研究与解决，充分显示了计算机在数学学习和研究中的强大的优势。数学实验使得数学学习已不再局限于演绎推理，同时也要求学生学会收集信息、处理信息，通过数学模型的计算实验，探索数学问题的规律和解决问题的方法。根据中学数学的特点，常见的数学实验有以下几种类型：
　　（1）验证式的实验
　　验证性实验是指针对教材内容，把一些知识形成过程的典型材料，设计为验证性的问题，这些材料可以是数学概念、公式、定理、法则的提出过程，结论的推导分析和论证过程，知识的发生、发展和形成的过程，解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程。计算机作为一种多媒体信息的载体，以其信息传输通道宽阔多样，容量大、速度快、效果好,利用其强大的求值，计算、作图、动画等功能，可以简便地解决诸如函数及其性质、图形的数形关系、轨迹问题、方程求解等等，直观形象地展示数学问题的背景、过程、结果, 可以直观地揭示问题的数学“庐山真面目”，为学生创设一种良好的认知情景，学生通过计算机的演示或键盘和鼠标的操作，从错综复杂的现象中观察、捕获问题的规律、实质,抓住暂时的、静止的瞬间的情况去发现量与量、数与形、动与静之间的关系，探求问题的规律、本质，帮助学生全面深入地理解概念和问题的内涵。
　　在已往教学中，要通过解方程讨论和二次函数最值讨论求a 的范围，具体解法如下：


它侧重于曲线与方程、方程的根、最值的问题，注重训练学生进行普通方程与参数方程、形与数、方程与函数的在数式上的转化，着重理顺问题的数学逻辑关系。但却难以提供真实可信的动态图形关系，无法体现“形”(两曲线位置关系)与“数”(a值)的同步变化, 计算机的仿真功能在这方面弥补了传统教学的不足(如图)。利用它的模拟仿真的功能可以将两曲线的特殊的位置人为地或自动地定位和动画并展现相应的a值，可随时根据需要再现问题的变化过程，学生可细致入微地观察、分析、探求。两者相辅相成，可以互相对照，使学生对问题有一个比较全面深刻的理解。把只能用语言描述的数学问题变成了具体生动的数学真实。
　　又比如，在《新编高中数学重难点手册》（2000，1版P115）有这样问题：函数f(x)=sinx+sin2x+sin3x的（ ）A. 最大值是3 B. 最大值不小于 C. 最大值是 D .最小值是1，(书中的答案是B) 这个问题对于高中学生有相当的难度，《中学数学》(湖北大学2001，7)用初等数学的办法花了整版的篇幅去求解。如果我们用《Maple》来解决就显得轻而易举，只需输入命令evalf(maximize(sin(x)+sin(2*x)+sin(3*x))，就会得到f(x)的最大值是2.4996，而＝２. ３６６０２ ，（maximize是求函数最大值的命令，求出的结果以根式形式出现，evalf是将上述结果化为小数形式）由此可以看出原题的选择支的设定不是最优的，体现了计算机在解决数学问题中的优势。
　　（2）发散探索式实验
　　许多计算机软件如《几何画板》《Maple》等不仅是一种多媒体的演示工具，更重要的是它也是一种帮助学生探索和理解的工具，它丰富和扩展了数学活动内容和形式。在教师的指导下，经过一定的培训，可以使学生亲自参与问题的探索。解决之中，通过实验进行测量和计算，提出假说予以证明和否定，从数学模型的建立到演示，从性能的预测到规律的探求，以及算法的设计，实验的测试和模拟仿真，它是学习数学的理想的认知工具，能有效地促进学生的认知的发展。今天数学教育改革的一个突破口应是提倡“问题解决”，我们所说的“问题解决”它不同于通常教学中的问题解答，最大的区别就在于问题的可探索性和探索的价值不同，因此通过学生用眼观察，动手去实验，用脑去思考，用心去探索，象一个小数学家一样提出问题、分析问题、解决问题。
　　例如，设点O为抛物线=4ax上的一个动点，连结抛物线顶点O和Q在直线OQ上取一点P，使得OQ·OP=(k为常数)，求点P的轨迹。（见下图）
　　以下是常见的一般解法：


　　除此之外教学中也常讲一题多解、一题多变、多解归一等等，但学生的数学活动主要表现为运算和技巧的应用以及逻辑推理，更多的是“纸上谈兵”。由于时间和设备的限制，往往学生看不到变化的过程和结果，问题的结论。而借助计算机的优势，通过一系列的键盘和鼠标的操作，把大量的数学计算、推理、作图留给计算机去完成(以往要作出该轨迹方程的图形是不大可能的)，以前需要复杂推理运算才能解决的今天只需操作鼠标就能得到，因此可以把剩余的时间让学生进行更为广阔和有益的数学发现和创造。
　　例如在课余实验中学生往往不满足于本题的求解，而提出以下几个新的问题：（a）把条件OP·OQ=改为作正方形OQPR或正三角形OPQ，求点P的轨迹方程，(b)把条件OP·OQ=改为求某圆与y轴和抛物线均相切的圆心轨迹；(c)把抛物线改为圆、椭圆、双曲线，求P点的轨迹等，得到一些意想不到的一些发现。又比如据有关资料报道：两位中学生利用《几何画板》，发现在平面几何中有这样一个有趣的命题：如图，在矩形ABCD中，O为矩形ABCD的对角线的交点，OE⊥AB，⊥AB，，…,OnEn⊥AB,则


证明本题并不难，但“发现问题比解决问题更重要”（数学教育家玻利亚语）。计算机创设的问题情景可以大大地激发学生探索数学奥秘的热情，从中学习发现与创新。这一类的例子不胜枚举。《几何画板》、《Maple》等即算即得，一做就成的功能为学生提供了想像与创新的广阔天空，为“数学猜想”、数学创意提供了强有力的手段和工具，学生会产生一种强烈的求新、求知、求成的欲望、自然学得有味有趣、积极性、创造性,主体性意识、数学问题意识、探索意识大大增强了，学生的观察能力、动手能力、独立发现和提出问题的能力和创新意识都得到锻炼。同时教师也可以通过数学实验，进行教学研究，命题的编撰，业务进修，笔者在参与２０００，２００１福州市高三数学质量检测命题工作中就大量地应用《几何画板》和《Maple》进行命题的构思，实验，检查等。
　　（3）动手实践的实验
　　传统的数学学习主要是通过“听”、“看”、“写”的方式，学生把大量的时间和精力花在繁琐的数字计算和符号演算上，今天计算机作为一种有价值得学习工具，不仅可以省去大量的计算，免去重复性的工作，得以把时间和精力集中在概念的理解、关系的建立、问题解决反逻辑证明等高层次思维能力的发展上。在计算机日益普及的今天，数学学习不但要面对数学的挑战，还要面对技术的考验。敲键盘、点鼠标“做”数学是数学实验一个重要特征，它是对数学学习方式的一种补充，弥补我国学生动手能力薄弱的缺陷。
　　例如：已知A(2,0)是圆+=16内一点，动点B、C在圆上运动，且BA⊥CA，求线段BC中点的轨迹方程。在《几何画板 》中要得到问题的结果，只需构造圆上的点C、线段CA和BA⊥AC交圆于点B，设置点C沿圆周动画即可得到点M的轨迹方程和图形，屏幕能表现出随着B、C的运动，点M坐标的变化数值，并同步准确地把圆方程体现出来，它把轨迹方程视为点(形)运动和点坐标(数)的同步相关变化的结果，求解轨迹方程的关键是动手求作具有相关制约关系的点(形)，由此相伴的点坐标的集合(通过计算机运算得到)即得所求的点轨迹方程。这里多操作、少技巧，重观点、少运算。它更多地让人在数学实验过程中去体会和理解数学关系、问题的内涵，数学解题真正变成在数学思想和观点指导下的全方位的数学操作活动。数学实验这种非形式化的“做”中学的这种活动形式应成为数学学习的重要手段之一。

　　七、数学实验活动的实施原则
　　开展数学实验活动要从教学设施、教材内容、学生能力等实际情况出发，因材施教，因地制宜，数学实验活动要由浅入深，结合学生心理特点和认知水平有计划地进行，教师的指导也要由多到少，逐渐过渡到学生的自主实验。在数学实验活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同实验者，教师要充分发挥主导作用，在开展活动时，要注意学生非智力因素的培养，鼓励学生自己主动完成实验，要及时肯定学生的积极表现，鼓励创新，教师要与学生平等地进行交流可讨论，创设民主、和谐的实验气氛，建立新型的师生关系。同时在进行数学实验活动时应遵循几个原则：
　　①目地性原则
　　利用现代教育技术进行“数学实验”教学应有明确的教学目地，不要盲目地无选择地运用计算机进行数学实验，核心是解决教学中的重、难点问题，鼓励学生注意观察问题、发现问题、探索问题；不要只重形式，不重实质。只重视直观和形象，而忽视理解和抽象。应有益于促进学生对数学知识和思想的理解，克服与弥补传统教学中的不足，进一步丰富数学的活动形式。在目前情况下，应注意与研究性学习、问题解决、探索性学习相结合，以兴趣小组形式开展活动为宜。
　　②适度性原则
　　数学实验的开展是对传统的教学活动的一种补充和辅助，而不是替换和否定。它应当起一个“画龙点睛”的作用，而不是“画蛇添足”。传统的教学手段有其独到的优势，它的应用是广泛和深刻的，当然也有其局限性。充分发挥数学实验在教学中的作用，应注意扬长避短，努力实现多种媒体的全面和谐的应用。
　　③适用性原则
　　数学实验这一新型的教学活动形式适用于某一特定的教学内容和情境，但面对不同教学对象和教学内容也需要调整以适应新的情况，在实验设计时中应以“适用、能用”为准则，不宜过分追求“高、精、尖”。教师最好要掌握一些数学软件的使用（建议掌握《几何画板》、《Maple》等），平时注意收集、学习、借鉴、试用国内外现有的适用的实验课题和素材，以便设计出符合个性、符合教情的实用的实验题例和课题，使学生在其中更好开展数学实验活动。
　　④多样性原则
　　数学实验在问题内涵、思维深度、操作、活动范围和形式等方面远远超过解数学习题的功能，因而决定了数学实验活动形式的多样性。在数学实验中应充分发挥现代教育技术的功能，对于同一个实验问题可根据实际情况，设计多种实验方案，可以一个人为主，也可以小组为主，可以在课堂上老师进行实验和演示，也可以在课余让学生实验，运用多种形式和手段开展实验活动，做到因材实验，讲求实效，充分体现学生的主体地位，让学生亲自参与实验设计、实施的全过程，给学生充分的活动空间和时间，这样才能达到实验的目的。
　　⑤阶段性原则
　　数学实验活动的一般包括认识问题、制定实验计划、执行计划和反思总结等步骤。一般要分为开题讨论，中期实验、撰写论文、结题评定阶段。在每一阶段教师应给予适当地指导、督促，使得实验课题可以如期完成。课题成果以课件和论文形式出现。
　　随着计算机技术在数学教学中的深入应用，数学实验在教学中的地位和作用将不断加强，促进和加深我们对数学本质、数学教学、数学技术、数学教育等方面的理解，推动素质教育、创新教育、研究性学习、课程改革的广泛开展。
　　（完）