刍议数学应用问题的编拟策略

山东莱西二中　张进平

　　应用问题既能考察学生的基础知识、基本数学思想方法和基本技能，又能考察学生应用意识，因此是近几年高考考察的重点．但在各地编拟的一些应用题中，还存在一定的不足，这里仅对应用题的编拟谈一下个人的看法．

　　1 背景立意公平

　　应用题是有实际背景或有实际应用意义的题目，是生活生产中的实际问题经加工改造抽象成的数学问题．但我国幅员宽广，城市和乡村、山区和平原差别很大，因此应用题的编拟背景必须是所有考生都熟悉的、或都能理解的，否则就有失考试的公平性．

　　例1 有甲乙两个粮食经销商，每次同时在同一粮店购进同一价格的粮食(假设每次粮食价格互不相同)，他们各购粮三次，甲每次购10000公斤，乙每次购10000元的，现规定：谁平均每公斤粮食付的货款少，谁的购粮方式更经济．甲乙二人谁的购粮方式更经济？(无锡市1998模拟试题)

　　解 设第i次的粮价为a_i(i=1，2，3)(a_i＞0，且a_i都不相等)，由题

　　∴ 乙的购粮方式更经济．

　　例2 某君有人民币若干，拟做股票投资或长期储蓄，若存入银行，则年利率是6％，若购股票，则年红利为24％，不考虑物价变化因素，且银行年利率和该股票年红利不变，股份公司不再发行新股票，每年的红利和利息可存入银行．

　　(1)求某君购买股票或储蓄x年后所拥有的人民币总额．

　　(2)问经过几年购股票与储蓄拥有的人民币相同．(lg2=0.30103，lg3=0.47712，lg1.06=0．02531)(沈阳市模拟题)．

　　(1)解 设某君原有人民币a元，储蓄x年后拥有人民币为y=a(1＋6％)^x=a·1.06^x 购股票x年后拥有人民币总额为：

　　y=a×24％[1＋(1＋6％)＋(1＋6％)²＋…＋(1+6％)^x－1]=4a(1.06^x－1)

　　即：y=4a(1.06^x－1)

　　(2)解 令4a(1.06^x－1)=a·1.06^x

　　∴约5年储蓄和购股票拥有相同人民币．

　　评注 例1购粮背景设计是平时生活中常见的商业活动，大家比较熟悉，而且还对“更经济些”作了详细解释，稍有阅读能力的同学都能看懂，因而是个比较好的题目．

　　例2 虽然也动了一番脑筋，也比较切合目前的改革大潮，但对农村或中小城市的学生来说，根本不知道购买股票是怎么回事，因而无法进行下去，若在题目中对“红利”和“股票”加以说明就比较公平了．

　　2 语言准确

　　应用题重在考察信息迁移、语言转化能力，因此题目要力求用词准确，语言流畅，表述简捷规范、符合习惯、无歧意．

　　例3 某商人购货，进货时已按原价a扣去25％，他希望对货物定一个新价，以便按新价让利20％后，仍可获得售价25％的纯利，试写出经营这种货物件数x与让利总额y间的函数关系．大部分材料给的答案是：

　　解 设新价为b，则售价为b(1－20％)，进价a(1－25％)，由题意得：b(1－20％)－a(1－25％)=b(1－20％)·25％，

　　评注 例3的背景也比较贴近现实，但在用词上有些地方有歧意，即“获得售价25%的纯利”中的售价,还可以指制定的新售价b，现在的商人往往采用明降暗升的办法来提高利润，定一个新的售价b,再降20%，还可

　　 原来的售价，进价和售价相差25％，就获25％的利润，然后明降暗不降，即制定新价b，再降20％．结果仍获原来售价a的25％的纯利，此时　　

　　例4 某工厂现有职工2a人(140＜2a＜280)，且a为偶数，每人每年可创利b万元．据评估在生产条件不变的条件下，每裁员1人，则留岗职工每人每年多创利1％．但每年需付下岗职工0.4b万元的生活费，并且

　　该厂应裁员多少人？原题给的解答是：

　　评注 例4确有时代气息，从创意到背景都不失为一个好题．但在遣词上有些欠妥，“每裁员1人，留岗职工每人每年多创利1％，即是裁n人 时比n－1人时提高1％．若设裁n－1人时创利是M，则裁n人时是M(1＋1％)，因此，可获得经济效益为y=(2a－x)(1＋1％)x－0.4bx，此函数的最值在中学时是很难求的．所以应改为“每裁员1人，留岗职工每人每年多创利0.01b万元．

　　3 答案确定

　　生活中原型题，参考条件多，思维深度广度较大，解答方法多样，答案不唯一，而教学应用题主要考查学生应用数学的意识．因此每步设问都应是可行的，解答过程是可规范的，步骤是符合逻辑的，答案是确定的．

　　例5 从材料工地运送电线杆到500米以外的公路一方埋栽，每隔50米在路边埋一根，每次只能运三根，要运栽20根电杆，并返回材料工地，问运输卡车共行程多少公里？

　　绝大部分资料的解法是：

　　解 设每次都运三根，每次走的路程组成数列｛a_n｝，则a₁=2×600，d=2×150，n=7，则S₇=14700(米)，最后一次运两根少走100米，往返的路程是14600米，即14.6公里．

　　评注 此种方法不全面，因为第1次可以运两根，第2次可运两根，……．而上述各种运法对应的答案是越来越大的，因此，这个问法行不通．(答案不确定)．题目应改为求运输卡车走的最近(或最远)的路程．

　　总之，数学应用题的考查是数学本身的需要，更是社会的需要，应用题的命题常有新颖的背景、陌生的材料．因此，在命题过程中应面向全体，合理选材，融应用能力的考察于知识的考查中．

参考文献

　　1 晨旭．探索性与应用性问题初探．数学通讯，1996，4．

　　2 晨旭．加强理论研究．指导命题实践——1995～1997高考数学命题总结，试题研究．1998，8．

　　3 1997年全国高考普通高考数学试题评价报告．数学通报，1998，1．

　　4 潘孝虎．全国高考模拟试题精选与分析．河北教育出版社，1998．