构造法解高考不等式试题

《引言》 近几年来全国高中数学联赛一试试题水平与高考试题水平比较接近，但仍普遍难于高考，因此为了备战数学竞赛，必须先把高考试题中的数学思想、方法尽快掌握.

《例题》

例1 设x是实数，不等式

　　 恒成立，求实数a的取值范围（1987年全国高考） .
分析：本题是关于x的二次不等式，有多种不同解题思路，常见的有

　　  ①利用二次三项式恒正的条件：当二次项系数为正时，判别式小于0；

　　  ②构造函数f(x)及(a)：使

　　 ，

　　 变考虑f(x)恒正为(a)>0；

　　  ③构造二元函数f(x,a),分离变量为(a)、 (x)，若已知 (x)有最大值M，则f(x,a)>0恒成立的条件就是(a)>M成立的条件.

　　 这里的思路②、③其实在高中课内教学中是很难遇到的具有新意的数学思想，同学们务必掌握，现在我们仅就后二思路给出两种解法，思想①就请同学们自行练习.

解法1：（思路②）

　　  当时，欲使f(x)>0恒成立，只需(a)>0对任意实数x成立.

　　  即只需 (*)

　　  关于参数x恒成立.

　　  注意到，(*)成立，只需

　　  对任意参数x成立，这里对任意x有

　　  x²-2x+2=(x-1)²+1>0，

　　  故只需，

　　  即只需0<a<1

解法2 （思路③）

　　  记f(x,a)=，

　　  由题设f(x,a)>0关于x恒成立，分离变量后，

　　  只需

　　  恒成立；再记 ，

　　  注意到 x²-2x+2=(x-1)²+1>0，

　　  故  (x)≤0，

　　  因而只需 (a)>0，

　　  就有 f(x,a)>0

　　  恒成立，即只需 ，

　　  即

　　  解得

　　  0<a<1

例2 对于一切大于1的自然数n，

证明：（1985年上海高考试题）

分析 本题常规证法是利用数学归纳法。但若采用构造数列的方法，将更简捷、新颖。

证明 注意到欲证不等式左、右皆正，故构造数列{a_n}，并令

　　  虽然a_n>0，，若对任意n≥2时，

　　  n∈N，都有

　　  a_n>1，

　　  则原命题得证，为此，考虑n≥2时，

　　  ∴a_n+1>a_n>a_n-1>…>a₂>1，故原命题成立.

例3 设，证明不等式

　　  对所有正整数n都成立，（1985年全国高考题）

分析 本题的常规证法也是用数学归纳法，这里，我们介绍构造数列并利用数列增长速度不同，比较两个数列对应项大小的方法；这里需要借用的显然事实是：

　　  若数列{U_n}和(V_n)满足U₁≤V₁且

　　  U_k-U_k-1≤V_k-V_k-1 (k=2,3,…,n)

　　  则U_k≤V_k (k=2,3,…,n)

　　  特别对正项数列{U_n}，{V_n}有：

　　  若 (k=2,3,…,n)

　　  则U_k≤V_k (k=2,3,…n)

　　  （等式当且仅当U₁=V₁且U_k-U_k-1=V_k-V_k-1或时，成立）

　　  对此性质，很易用叠加式叠乘得出.
证明 令

　　  注意到，故

　　  ∴V_n+1>V_n>…>V₁>0，即V_n>0 ；

　　  再由

　　  ∴U_n+1>U_n>U_n-1>…>U₁>0，

　　  即

　　  综上，原不等式成立.

例4 设，试比较U_n与V_n的大小

分析 本题是1998年全国高考题的压轴题中的关键部分。通常解法是数学归纳法，这里我们还是介绍构造递增数列，利用比较原理进行证明.

证明 考虑数列{U_n}和{V_n}

　　  ∵U₁=2,V₁=, ∴U₁>V₁，显然U_n>0, V_n>0

　　 注意到，

　　 ，

　　  且

　　 ∴ (k=2,3…)

　　 由

　　 得，

　　  ∵U₁>V₁，∴

　　 即U_n>V_n (n∈N)