中考应用型数学试题分类浅析

　　学习数学的最终目的在于应用．九年义务教育三年制初中代数、几何课本中，明显地增加了应用型习题的份量，近几年来各地的中考试题中应用的题型也日益增多．本文就中考中常见的题目进行归类分析，并对其应试策略作一浅显的探讨．

　　一、营销类

　　营销类应用型问题，指在营销活动中计算产品成本、利润(率)、确定销售价格，考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题，随着市场经济体制的建立，这类题具有较强的时代气息．

　　例1 某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这次买卖中，他 [ 　　]

　　　　A．不赚不赔 　　　　　B．赚9元

　　　　C．赔18元　　　　　　 D．赚18元

(1994年湖北省荆州地区中考题)

　　略解：设两件上衣的成本分别为x元、y元，则有：

x(1+25％)=135，y(1－25％)＝135．

　　∴x=108(元)，y=180(元)．

　　135＋135－x－y=－18(元)．故应选择C．

　　注：解营销类问题须理解有关问题(如利润、盈利、亏本)的含义，掌握有关计算公式(如：利润=销售价－进货价，利润率=利润÷进货价×100％)，并巧妙地建立方程．

　　二、决策类

　　决策类应用型问题，是根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题．

　　例2 A市和B市分别有库存某种机器12台和6台．现决定支援C村10台、D村8台．已知从A市调运一台机器到C村、D村的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C村、D村的运费分别为300元和500元．(1)设B市运往C村机器x台，求总运费ω关于x的函数关系式；(2)若要求总运费不超过9000元，问共有几种调动方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？(1996年江苏省淮阴市中考题)

　　略解：(1)可知B市运往D村(6－x)台，A市运往C、D两村分别为(10－x)、(2＋x)台，故ω=200x＋8600．

　　(2)易得0≤x≤6，由运费200x+8600≤9000．从而0≤x≤2，故x可取0、1、2三个数，因此运费不超过9000元，共有三种调运方案．

　　(3)当x=0时，ω的最小值为8600元，这时调运方案为：从B市运至C村0台，运至D村6台；从A市运至C村10台，运至D村2台．

　　注：解决策类问题一般先列出算式或建立函数关系式，通过算式大小的比较或函数最值的确定作出相应的决策．

　　三、工程设计类

　　工程设计类应用型问题，是指运用数学知识和原理对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、设计的一类题．

　　例3 有一条河如图1，两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥来连接A、B两地．问路线怎样走，桥应架在什么地方，才使从A到B所走的路程最短(在图上表明道路和桥的位置)．(1992年广西部分地市中考题)

　　略解：作BD⊥l2于D交l1于C，在BD上

　　截取BP=CD，连AP交l2于E，作EF⊥l1于F，连BF，即桥的位置为EF，道路为AE、BF．

　　注：解工程设计类问题关键在于根据实际情况，如何灵活地应用有关的数学知识和是否具有用数学的意识．

　　四、生活类

　　生活类应用型问题，指与人们个人生活(储蓄、购物等)和社会生活(旅游、文娱活动等)息息相关的实际计算问题，它具有一定的实用价值．

　　例4 一组学生组织春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，原来这组学生的人数是

　　 [ 　　]

　　　　A．8 　　　　 B．10

　　　　C．12 　　　 　D．15

(1995年安徽省中考题)

　　略解：设原来这组学生人数为x，则
　　

　　例5 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息共计1320元，求这种存款方式的年利率．(1996年河北省中考题)

　　略解：设年利率为x，根据题意得：

　　2000(1＋x)－1000］(1＋x)=1320．

　　答：这种存款方式的年利率为10％．

　　注：解生活类应用型问题，须理解有关名词的意义，掌握有关计算公式．如储蓄中开始存入的钱叫本金，银行付给储户的酬金叫利息，存入到支取的时间叫期数，每一个期数内的利息与本金的比叫做利率．利息=本金×利率×期数，本金与利息的和叫做本息和．

　　五、生产类

　　生产应用型问题主要指工农业生产中增长率、产值、用料，确定施工、调配等方面数据的一类计算题．

　　例6 某农户在山上种了脐橙果树44株，现已是第三年收获．收获时，先随意采摘5株果树上的脐橙，称得每株果树上的脐橙重量如下(单位：千克)：35，35，34，39，37．

　　(1)根据样本平均数估计，这年脐橙的总产量约是多少？

　　(2)若市场上脐橙售价为每千克5元，则这年该农户卖脐橙的收入将达多少元？

　　(3)已知该农户第一年卖脐橙的收入为5500元，根据以上估算，试求第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增长率．(1996年江西省中考题)

　　略解：(1)预估总产量为36×44=1584(千克)；

　　(2)5×1584=7920(元)；

　　(3)设年平均增长率为x，依题意有：5500(1＋x)2=7920，

　　∴x1=0.2，x2=－2.2(舍去)．故年平均增长率为20%．

　　例7 一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．如果一立方米木料可制作桌面50个，或制桌腿300条，现有5立方米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？(1994年北京市崇文区中考题)

　　略解：设用x立方米木料制作桌面，用y立方米木料制作桌腿，据题意有：

　　因此，用3立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，恰好配成150张方桌．

　　六、测量类

　　测量类应用型问题有两种情形：一是考查如何使用某些仪器、工具测量物体的高、两物间距离等；二是给出测量的数据进行有关计算．

例8 如图2，为了测量某铁塔的高AB，在地面上选取C、D两点，使C、D分别在铁塔两侧，且C、B、D在同一直线上，在C、D两点测得塔顶A的仰角分别为39°和45°，又测得CD=45米，如果测角器的高度略去不计，试计算铁塔的高AB．(下列三角函数的值可选用：sin39°=0.63，cos39°＝0.78，tg39°=0.80，ctg39°=1.25)

(1996年江苏省扬州市中考题)

　　略解：设AB为x米，则BD=x米， 　　CB=1.25x米，由CD=45，即x+1.25x=45．∴x=20．(答略)

　　注：解测量类问题须理解方位角、方向角、仰角、俯角等名词的含义，有关计算一般可归结为解三角形的问题，同时须掌握常见测量工具、仪器的用途及使用方法．

　　七、图象观察类

　　图象观察类应用型问题是指根据实际问题绘出图形，要求你根据图形来回答一些问题．解决这类问题须学会识图，会利用图形的有关性质来说明一些具体问题．

　　例9 下图是某地一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中：

　　(1)什么时间气温最高，什么时间气温最低，最高气温和最低气温各是多少； 　　(2)20时的气温是多少；

　　(3)什么时间气温为6℃；

　　(4)哪段时间内气温不断下降；

　　(5)哪段时间内气温持续不变．

(1996年安徽省中考题)

　　略解：(1)凌晨4时的气温最低，气温是－4℃；16时的气温最高，气温是10℃；

　　(2)20时的气温是8℃；

　　(3)10时和22时的气温都是6℃；

　　(4)从0时到4时和从16时到24时这两段时间内气温不断下降；

　　(5)从12时到14时这段时间内气温保持8℃不变．

　　八、相关学科类

　　相关学科类应用型问题是指涉及相关学科(物理、化学等)知识的一类数学问题．

　　例10 要把450克浓度为60%的硝酸铵溶液配制成浓度为40%的硝酸铵溶液．某同学未经考虑先加了300克水，试通过计算说明该同学加进的水是否过量了．如不过量，还应加入30％的硝酸铵溶液多少克？如果过量，则需加入纯硝酸铵多少克？(1996年江苏省苏州市中考题)

　　略解：计算知加水后的浓度为36%，故加水过量，设需加入纯硝酸铵x克，则有：450×60％＋x=(450＋300＋x)×40%．

　　∴x=50，因此还需加入纯硝酸铵50克．

　　综上所述，解应用型数学问题，关键是将实际问题中的内在、本质的联系抽象、转化为数学问题，进而建立数学模型，通过对数学问题的求解得出实际问题的答案，以提高我们应用数学知识，解决实际问题的能力．