例谈信息科技对解数学开放题的影响

浙江省抗州市电子职业高中 金黎芬

香港大学课程系 黄荣金

　　随着信息科技应用日益普及，信息科技对学校数学教育带来了前所未有的冲击．世界各国纷纷将信息科技引入数学课程，例如美国面向二十一世纪的《数学课程标准》所指出的：“数学教学应该使用科技来帮助所有学生理解数学，并在为越来越科技化的社会中应用数学作好准备”，又如在英国国家数学课程标准中所建议的：要求给学生“提供适当的机会来发展并应用信息科技学习数学的能力”．

　　从七十年代日本数学教育家提出数学开放题(Open ended Problems)以来，在美国、英国、欧洲大陆及东亚等地引起广泛的注意，特别是以开放性问题为载体的开放式教学(Open Approach Teaching)越来越被数学教育界高度重视．从八十年代初，中国大陆虽然已开始介绍国外一些有关数学开放题的动态，但是，只是近五年来，数学开放题才日益引起数学教育界的关注，并逐渐形成为数学教学改革的一个热点．目前，数学开放性问题的研究主要集中在：(1)国外有关数学开放题信息的进一步介绍；(2)进行数学开放题的教学试验，形成一批优秀的教学设计等方面，但很少涉及如何使用信息科技来进行开放性问题的探索．本文试图探讨使用信息科技来进行开放性问题教学的可能性及其局限性．

　　目前，数学教学中比较普遍使用的信息科技有：图形计算器、计算机代数学习系统(Mathematica、Mathcad、Drive等)、试算表(如Excel、Lotus－1－2－3等)、互动几何学习软件(Cabri Geometre、Geometr’s Sketchpad)，以及使用计算机语言编程等．

　　各种不同的工具及软件有各自的特点，对数学教学产生不同的作用．现在，让我们结合两个开放题的例子，探讨信息科技是如何影响数学开放性问题教学的．

　　例1 最优化问题：A、B两地位于一段笔直的公路EF两侧，它们距公路都为20米，这段公路的长度为40米(如图1)．现在要在A和B之间铺设地下电缆线，已知公路两侧的地质结构不同，因此工程的造价也不同，其中A地所在一侧的工程造价是B地所在一侧造价的两倍．试设计出最佳的施工方案．

　　这是一个典型的最优化问题，题目本身只有唯一确定的解，可以说是一个封闭性题目，但笔者把它放在开放性问题中来讨论，是因为我们可以用许多不同的方式来寻求最佳设计方案．

　　传统的解决方法：

　　如图1所示，设P为公路EF上的一点，设PE=x，不妨设B侧的单位造价为1(元/米)，则A侧的单位造价为2(元/米)．设工程总造价为y，则

　　然后，用徽分的方法求出上述函数的最小值．

　　传统方法主要使用代数变形、解方程及微分运算等知识，要求学生有较强的运算能力．

　　显然直线段AB是最短路径，但未必是最省造价的路线；而由线AE和EB组成的折线路径最长，一般也不会是最佳选择．直觉告诉我们，最佳路线应该是经过ED上的一点．下面使用《几何画板》来寻求近似的最佳路径．

　　第一步：

　　(1)使用画线段的工具及“构造”莱单中相关命令，画出题设的图形；

　　(2)在线段ED上任取一点P，设EP的长度为x，路径APB的造价为y；

　　(3)使用“测算”菜单中的相关命令，测出线段AP及PB的长度，并求出路径A—P—B的总造价y；

　　(4)在线段EF上拖动点P，观察x、y 值的变化；

　　(5)可以看到，当y的值为最小(约8.07)时，x值的取值范围约为：8.5＜x＜9.8．

　　 因此，我们可以得出实际问题的近似解：当P、E两地的距离约为9米时，路径A－P－B的施工成本最低．

　　第二步：

　　使用《几何画板》中的坐标系、轨迹及动画功能，可以生动地展示距离x与造价y的变化过程。

　　只要用鼠标双击一下动画按钮，就可演示当点P在EF上移动时，函数y=f(x)图象上点M的变化轨迹．

　　这种解决问题的过程不仅本身直观、生动且有趣，让学生体会到好象是在做实验，而且求出的结果，也能较好地解决实际问题．

　　假如学生不满足于这种“操作性”的数学方法及其结果，使用 EXCEL也可获得足够精确的解．

　　使用EXCEL寻求满足一定精确度的解：

　　由上述分析，我们可以发现本问题存在唯一的精确的解(即EP的长度)，而且该解应该落在区间[a₀，b₀]=[0，20]上．函数y=f(x)在区间[0，20]上的图象是光滑的(即连续的)．

　　(1)求出区间[a₀，b₀]的中点m₀，比较函数在a₀、b₀、m₀三点上的值，在区间[a₀，m₀]、[m₀，b₀]中，选择包含较小函数值的区间[a₁，b₁](即f(a₀)、 f(b₀)、 f(m₀)三个值中，较小两个值对应的值便组成区间[a₁，b₁])．

　　(2) 类似于(1)，反复进行下去，可得到一系列区间，而且区间的长度越来越小(区间长度的极限为零)．

　　由数学分析中的区间套定理，必定能找到函数的最小值．

　　我们使用EXCEL，把复杂的计算交给计算机去完成，而显示逐步的逼近过程，并且很容易画出函数的图象．可以看出，当x=9.21875时，其获得的最佳近似解已精确到0.00001．从函数图象中也可看出，最佳路径x的值为9.25左右，这一结果也是相当好的．

　　一般化

　　(1)在原问题中，如果将条件“A地所在一侧的工程造价是B地所在一侧造价的两倍”改为“A地所在一侧的工程造价是B地所在一侧造价的k倍”，如何设计最佳施工方案？

　　事实上，使用《几何画板》也能轻松地解决这个一般化问题．我们用线段K₁K的长度表示k的值，当移动点K时，便可得到不同的参数值k，并得到对应的不同的轨迹．比如，当k=1.64时，通过观察轨迹的变化，可以发现，点P、E两地的距离为11.4米左右时，路径A－P－B的造价为最省．

　　(2)在问题(1)的基础上，如果再将公路的长度改为l。如何设计最佳施工方案？

　　同样，我们可以通过移动点K(线段K₁K=k)，及点L(线段L₁L的长度=l)，观察图形的变化，可以求出任意给定k和l值时的最佳施工方案．

　　《几何画板》不仅能完成传统欧氏平面几何几乎所有的作图、计算、及变换，为解决平面几何问题提供了有力的探索工具，而且还可通过坐标系建立几何与代数的关系，实现数形的和谐结合．本例显示了这些功能的优越性．

　　EXCEL是一个非常通用的商用软件，它以行列组成的单元的表格形式来输出数据及文本，在单元中可以输入文本及数据，也能生成由其它单元通过运算所得的结果．如果更改一个单元的内容，它会自动更新相关单元中的内容及相应的图表．使用EXCEL可以帮助解决有关：(1)数；(2)序列；(3)算法；(4)绘图；(5)递归方法(折半法等)；(6)数据处理及统计等方面的问题．就本题而言，借助于EXCEL不仅直观方便，让学生体会如何“做”数学，而且揭示了许多重要的数学思想和方法：数形结合、逐步逼近、最优化等，这些都是传统方法难以做到的．

　　同时，由于使用了信息科技，传统的最优化问题可以有更多不同程度的解和不同角度的探索方法，从而使问题具有开放性的特点。

　　例2 钟面数字问题：钟面上有12个数字，请在某些数的前面添上负号，使钟面上的数字之和为零。

　　这是出现在浙江省初中数学教材中的开放题，它具有一个“好”的开放式题目的几个特点：(1)非常规性；(2)参与性；(3)趣味性和挑战性；(4)开放性；(5)探索性．

　　该题在国内已有许多实验与研究，这个问题的全部答案共有124个，并且可以进一步一般化，如“如果钟面上有1到n共n个自然数，能否在某些数的前面添上负号，使他们的和为零？(可限于n≤12，让学生发现规律)”．笔者通过一个简单计算机程序(略)，可以列出所有的解．

　　计算机编程可以帮助我们从大量繁杂、重复的数据运算和验证中解脱出来，使我们可以集中注意力来观察和发现规律．这种实验、猜想、证明的学习模式对培养学生高层次思维能力是十分有益的．然而，使用计算机编程来解决问题，有时会把生动、丰富的探索过程都装进“黑箱”，使学生丧失许多体验数学的机会．上述便是一个例子．

　　我们不禁要问：这是一个开放性问题？这是一个好的问题？能否允许用计算机来解决？使用编程来解决的方法给我们带来什么教育价值？科技给我们带来了积极的作用，也会带来一些负面的影响，我们应该如何面对科技？

　　以上我们结合实例讨论了如何使用信息科技来解决数学开放性问题，阐述了信息科技所带来的优点，同时也注意到它的局限性．在此，提出我们的一些思考．

　　(1) 信息科技如同圆规和直尺一样，是一种辅助教学工具，不过它具有比传统工具更强的功能，合理使用它们，不仅能够促进教师的教与学生的学，而且能够改变学生的数学观念及数学学习态度。比如，使用计算机代数系统、动态几何软件、试算表等用以进行数学实验、猜测和证明，以及探索函数与图象的关系及性质，来改变数学教学的面貌．这些工具为解决开放性数学问题提供了丰富的探索和实验环境；提供了更为开放的创造空间．不过，不同的信息科技工具，有不同的特点，教师有责任给予合理而有效的指导．

　　(2)把信息科技应用于数学教学，并不等于用新的媒体来呈现知识，更重要的作用是充分发挥科技的优点来创造新的教学方法，发展高层次的思维能力．由于信息科技发展很快，所以把信息科技应用于数学教学的根本意义在于改变学生的思维方式．

　　(3)使用科技，不要片面追求“外在美”，只重视直观和形象，而忽视理解及抽象，使用科技更应该促进学生对数学知识及方法的理解，发展他们的直觉能力及数学抽象、推理能力。

　　(4)在信息科技学习环境中，传统意义上的教师作用将被削弱，而应该留出更多时间让学生发现、建构知识．教师的作用不是教而是引导；不是传递而是建议．

　　(5)使用信息科技于数学教学，给我们带来一些新的问题：比如，使用EXCEL等计算机软件，或使用图形计算器，大量数和式的运算都可交给计算机(或计算器)来完成，这样一来是否会降低学生的运算能力？学生的运算能力，在什么阶段应该达到什么要求？又如，有了《几何画板》，学生通过操作可以发现许多结论，这样一来是否会让学生误解几何证明？如何平衡直观思维与演绎推理之间的关系？对演绎推理的要求如何定位？这些问题都有待我们去思考、解决．

　　总之，信息科技给我们数学教学带来了新的机遇与挑战；每个数学教育工作者，不管你自觉还是不自觉都将面对这一信息社会的挑战．我们应该积极地投入其中，充分发挥信息科技的优势来改进我们的数学教学，同时，尽量避免或减少使用科技所带来的负面影响．

　　[1] NCTM(1998). Standard 2000:Principles and Standards for School] Mathematics(draft).

　　[2] Department of Education and Science and the Welsh office(1995). Mathe matics in the National Curriculum. London:HMSO.

　　[3]张奠宙，数学教育的全球化、开放化和信息化．《数学教学》，1998年第5期．

　　[4] 戴再平，时代的呼唤－数学开放题研究进展综述．《中学数学教学参考》，1999年第4期．

　　[5] 戴再平，数学开放题．《中学数学教学参考》，1993年第12期．