中学数学应用案例一则

北京教育学院西城分院 汪庆麟

　　九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲指出，初中数学的教学目的是“使学生…能够运用所学知识解决简单的实际问题，”“能够解决实际问题，是指能够解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题．”《数学通报》95，1刊登“关于数学应用的一点思考”，95，2刊登“强化数学应用教学的几点思考， 95，8刊登“‘应用问题’—刍议”…可见数学的实际应用的教学被人们关注的程度．

　　然而，这个问题的解决却有相当的难度．解决数学实际应用的教学的要害问题是在深层次上提高人们的数学应用意识，和典型应用问题案例的甄别、优选、配套的教材建设．为了说明数学的实际应用，陈天奇[2]举了科马克发明CT扫描仪的过程的实例，这显然是一个很不错的案例，但它不适合中学生．所以作者接着又立即指出“类似的例子，只要认真收集，适用小学、中学、肯定不少，…”而且在同一期数学通报陈振宣的文章中我们确实也看到了适合中学生的很好的案例．“…但对什么样的‘问题’才称得上是问题解决的‘问题’，仍在探索之中”．他提出的问题的确是十分重要的问题，能称得上是问题解决的“问题”，有一个不嫌少；只要不冲击数学基础知识的理论体系，有十个不嫌多，对于不合用的应用问题要坚决砍，这是减轻学生过重负担所需求的．为了从为数众多的案例中精选出真正合用的典型案例，我们固然需要现代科学技术，计算机网络技术，信息压缩技术[6]，但也不应忽视对日常生活中，发生在我们身边的数学实际应用问题的挖掘，陈天奇在阐明“数学教育，要把智力效果放在第一位”的观点时，曾提出忠告：“…数学内容的抽象性并不能自动导致广泛的应用，数学教育的责任恰恰要下力气进行这种引导”．为了进行这种引导，可能需要漫长而艰难的探索．为此，我们应有以下思想准备．

　　第一．实际应用的数学问题有时过难，不宜做为教学内容；有时过易，不被人们重视．所以一定要树立强化应用的意识，从我做起，从小事做起，坚韧不拔，孜孜以求地去探索，要有不达目的决不罢手，题不惊人死不休的气概．因为数学学科的理论脱离实际已到了非常严重，非解决不可的地步了．从初中的平面几何、代数、到大学里的微积分，现行的课程“标准”与人们(包括数学家)实际应用数学时的“思考方式很不相符”[2]的情况再也不能继续下去了．

　　第二．处理数学实际应用问题时，要有强烈的主体意识和思维的灵活性．康托在1883年曾精辟地揭示出：“数学的本质在于自由”．实际问题中既有受制于客观条件的确定因素，更有许多不确定的因素，因而主体拥有相当多的“自由”：既可以把确定的因素抽象为不确定的．一般，也可以把不确定的因素具体化为确定的特殊．千万不要在面对这种“自由”的大好形势下，让机遇从“茫然”中悄悄溜掉．

　　第三．解决数学实际应用问题往往伴随紧张的创造性活动，需要全身心地投入．有时连一些非数学的细节，纯操作性的，纯技术性的细节也不能放过；这往往“背离”数学概念、定理教学和教材理论体系的大方向．在权衡得失上，有时颇费踌躇，自然使师生望而却步．

　　第四．有人批评 [5]“教学大纲对于数学应用于实际的能力培养缺乏整体思考”．这话虽然有一部分道理，但首先要积累一系列成果作为素材以利整体思考．这些成果的主要形式将是“选择”和“挖掘”：即选择适合教学的、难易适度的典型案例，并对这样的典型案例进行教学法的全面加工，生产出：“精品案例系列”；深入挖掘贴近“基础知识”，贴近数学发展“主流”，“核心”的“实际应用”．并围绕已开发的“案例”和“应用”开展专题讨论，使“整体思考”沿正确方向深入开展起来．

　　下面就“倾角可调节阅读架”设计中的“数学原理”加以说明我们对实施[教学大纲]要求的上述观点．

　　三角形的稳定性 指的是三角形三条边长a，c，x，给定后，三角形的形状便唯一确定．

　　这是初中平面几何强调的一个性质，也是目前市场上销售的中小学生阅读架(塑料制品)设计所依据的数学原理．

　　如图1，AB边为书托，AC为底座，BC为可调节的支杆．AB可以绕 A点转动， BC可以绕B点转动，AB=c，BC=a为定长，当BC上的C点插到 AC 上若干个不同位置上的“键槽”(称C点)时，AC=x便被“锁定”，所以AC是可以变动的，并以此调节书本的倾角∠BAC=θ的大小．这种阅读架的缺点是它不能承受成人阅读的大部头书籍和合订本杂志的重压．要改变这种情况，对阅读架就要重新设计，这不仅涉及材料、尺寸、BC边的锁定方式，而且要触及根本结构和所依据的数学原理．

　　特殊四边形的稳定性 在上述设计方案中，如果要改变C点的“锁定”方式，势必要引进如图2中CD那样一个“滑动立柱”的装置．于是得到四边形ABCD． 从经验直觉出发，因为∠ADC=90°，是合情合理的一种选择，于是我们可能把“特殊四边形的稳定性”表述如下：“当四边形ABCD四条边a，b，c，x和AD=x与CD=c的夹角∠ADC(=90°)给定后，四边形ABCD的形状便唯一确定”．

　　然而，这个命题却是不真的，正确的表述应该是：“当凸四边形ABCD四边长a，b，c，x和AD=x与 CD=c的夹角 ∠ADC(=90°)都给定后，凸四边形ABCD的形状便唯一确定”．

　　用准确的数学语言正确表述实际问题本身就是数学的一种应用，其中可能包含对AB边所要承受的书籍的巨大压力，整个系统的静力学平衡、稳定性的考虑．

　　在图2中，AB边为书托，BC边为支杆，CD是垂直AD且沿AD滑动的立柱，AD为底座．AB可以绕 A点转动， BC可以绕 AB上B点转动，也可以绕CD上C点转动，CD可以沿底座AD上的滑槽滑动．我们称这个系统为第二种设计方案．关于这个系统，我们提出的问题是：

　　我们限定ABCD为凸四边形，当a，b，c为常数，变量 AD=x与∠BAD=θ所满足的条件

(asinθ－c)²＋(x－acosθ)²=b² (1)

　　即方程

　　x²－2acosθx＋a²＋c²－b²－2acsinθ=0 (2)

　　不仅是确定的关系．而且，方程(2)在θ给定后(△≥0)解也是唯一的．

　　合静力学中物体稳定性原理的要求，所以应舍去．

　　为了设计合用的阅读架，它的底座的尺寸涉及x的变化范围是设计者必须予以考虑的．

　　如图3，4．x=x(θ)是θ的减函数．

　　为了将设计思想付诸实施，需要把抽象的数量关系具体化，数值化，从可操作性出发，将某些尺寸按比例缩小．(对四边形ABCD进行以A为位似中心的位似变换！)

　　对于通常阅读杂志的长边约25cm，展开后宽度约 35cm，于是不妨选位似比 k=1∶2．这样 AB= 12.5cm，BC=12.5cm(这里令BC=AB)CD=6.25cm．x的变化范围就是

　　x_最大与x_最小之差为2l=12.5cm．这就是滑动立柱的“行程”．

　　这样，底座不妨设计成 35cm×25cm的长方形．在长边的中垂线上距长边10cm到24cm的两点间可以挖出一个限制滑块滑动方向的滑槽，或固定滑块的一些栓孔．

　　“阅读架”材料的选择、外观图案的设计，艺术的造型和附属物的点缀…已超出数学学科应用的范畴，兹不赘述．

　　以这一典型案例可以看出：数学应用不应孤立讨论，应把它放在数学教学改革，大教育观的大背景下，与创造性能力的培养、素质教育，双基训练紧密结合，才能把它占据的位置、与各方面的关系摆平，最好能有一个规划给出当前基础教育面临的众多问题的一揽子解决方案．当然，只有充分发挥广大教师群体的积极性，发扬愚公移山精神，包括使用现代化的计算机网络技术，才能实现上述宏伟目标．包括实现柯朗“改变数学过分专门化和过于强调抽象的趋势”，“很好反映时代的要求”，“使数学活跃在社会生活中”的一系列美好愿望．

　　1 郑毓信．数学哲学新论．

　　2 陈元奇．要把智力效果摆在第一位．数学通报，1995，3．

　　3 沈翔．应用问题—刍议．．数学通报1995，8．

　　4 陈振宣．强化数学应用教学的几点思考．数学通报， 1995．2．

　　5 郑列．关于数学应用的一点思考．数学通报，1995，1．

　　6 廖运章．立足现行教材开展应用问题教学．数学通报，1995，2．

　　7(21世纪中国数学教育展望)课题组．21世纪中国数学教育展望．