中考与决策型数学应用问题

江苏省射阳县阜余中学 刘顿

　　初中数学教学大纲中明确指出：“要坚持理论联系实际，要注意把数学知识运用到实际中去分析、解决力所能及的实际问题．”为了体现大纲的精神及要求，近几年来各地的中考命题一改传统型的应用题，而从提高学生素质、动手解决实际问题的能力，培养学生学习兴趣入手拟编了许多新变化、新特点、高质量的决策型应用试题，以激励学生运用数学知识和思想方法去解决现实生活中的问题，这些决策型的中考数学应用问题，既符合初中数学的实际，又发挥了教学的导向作用．

　　一、城市规划

　　例1 某房地产公司要在一块(如图1)矩形ABCD上规划建设一个小区公园矩形GHCK，为了使文物保护区△AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内．已知： AB=200m， AD=160m，AE=60m，AF=40m．

　　(1)当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，求公园的面积；

　　(2)当G在EF上什么位置时，公园面积最大？

(98年宁波市中考试题)

　　解：延长HG、KG分别交AD、AB于点M、N．

　　(1)当 G是 EF的中点时，由三角形中位线定理，得MG=

(160－20)=23800(m²)．

　　(2)设MG=x，则GH=200－x．

　　∵MG∥AE，∴△FMG∽△FAE，

　　∴当x=10(m)时SKGHC最大．

　　说明：这类决策型应用题，通过分析题意，运用图形性质，建立函数关系式，可为进一步解题铺平道路．

　　二、土地分配．

　　例2 如图2，有一块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农户耕种，已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配办法要按人口比例，并要求每户土地均有一部分靠紧水渠AB，P点处是三家合用的肥料仓库，所以P点必须是三家的交界处．已知Rt△PAB的∠P=90°，PA=20m，∠PAB=60°．

　　(1)计算出每家应分配的菜地面积；(2)作出各家菜地的分界线(保留作图痕迹，不写作法，标出户名)．(96年济南市中考试题)

　　∶李家面积=1∶2∶3．

　　(2)因三家面积比为1∶2∶3，按题中要求由平行线分线段成比例定理可得如图3分法．

　　说明：这道决策型试题既为全国土地二轮承包唱响前奏曲，又为加快素质教育的健康发展起了推波助澜作用，确是一道好题．

　　三、教育预估．

　　例3 据中国教育报报道：1997年是我国实施“九五”计划的第二年，在这一年里，教育事业取得了显著的成绩．就高中阶段的教育来说，1996年全国普通高中和中专(含职业高中)共招生668万人，而1997年普通高中比上年多招了14.3%，中专(含职业高中)多招了7.6%，这样高中阶段招生总人数比1996年增加了10.5%．

　　根据上述资料，求1996年普通高中和中专(含职业高中)各招生多少万人(精确到1万人)

(98年山东省中考试题)

　　略解：设1996年普通高中招生x万人，则中专(含职业高中)招生(668－x)万人．根据题意，

　　得x·14.3%＋(668－x)·7.6％=668×10.5％．

　　∴ x≈289，668－x=379．答：略．

　　说明：这道试题仍属于增长率问题，这里却一改课本中的常规问题，而从有利于教育的发展，计划的落实的角度选择内容．

　　四、投资与获利．

　　例4 某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的年利润与当年年初投入资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入资金继续进行经营．

　　(1)如果第一年的获利率为P，则第一年年终的总资金可用代数式表示为______万元．

　　(2)如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和)．第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．

(97年苏州市中考试题)

　　略解：(1)50(1+P)；(2)设第一年的年获利率为x，依题

　　∴x₁=0.1=10%，x₂=－2.2(舍去)．

　　答：略．

　　说明：这道试题带有浓厚的时代气息，又注重数学知识的趣味性，以激发学生学习数学为将来奋斗于商海而努力．

　　五、租金预测．

　　例5 某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆．刚好坐满．如果单独租用60座客车，可少租1辆．且余30个空座位．

　　(1)求该校参加春游的人数：

　　(2)已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车的租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60度客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独租用一种客车要节省，按这种方案需月租金多少元？(98年温州市中考试题)

　　解之，得x=270．

　　(2)设租45座客车y辆，则租用60座客车(y+1)辆，根据题

　　∵ y为正整数，∴y取1或2．

　　显然y=1 不合题意舍去．当y=2时，y+1=3．

　　则45×2＋60×3=270适合，这时需用租金为2×250+3×300=1400(元)．答：略．

　　说明：这种决策一旦预测有误就会造成麻烦或浪费．而解答这类试题时，要从题意出发设好未知数，用心体察实际所规定的情形，从中找出不等关系来，使问题得以解决．

　　六、生产方案设计

　　例6 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．

　　(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来；

　　(2)设生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中A种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

(98年河北省中考试题)

　　解：(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是(50－x)件．由题意，得9x+4(50－x)≤360．3x+10(50－x)≤290． ∴30 ≤x＜32．

　　∵ x是整数，∴ x只能取30，31，32．相应的(50－x)的值是20，19，18．

　　∴生产方案有三种，即

　　第一种方案：生产A种产品30件，B种产品20件；

　　第二种方案：生产A种产品31件，B种产品19件；

　　第三种方案：生产A种产品32件，B种产品18件．(2)略．

　　说明：这类决策型试题的解答关键是要把实际问题转化成数学模型，运用不等式逼近答案．

　　七、农业统计

　　例7 某养鱼户搞池塘养鱼已三年，头一年放养鲢鱼20000尾，其成活率约为70%，在秋季捕捞时，随意捞出10尾鱼，称得每尾的重量如下(单位：千克)：

　　0.8 0.9 1.2 1.3 0.8 0.9 1.1 1.0 1.2 0.8．

　　(1)根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？

　　(2)如果把这塘鲢鱼全部卖掉，其市场售价为每千克4元，那么能收入多少元？除去当年的投资成本16000元，第一年纯收入多少元？

　　(3)已知该养鱼户这三年纯收入为132400元，求第二年、第三年平均每年的增长率是多少？

(98年辽宁省中考试题)

　　∴估计总产量是1×20000×70%=14000(千克)．

　　(2)4×14000=56000(元)． 56000－16000=40000(元)．

　　(3)设平均每年的增长率为x，据题意，得

40000+40000(1+x)＋40000(1+x)²=132400．

　　∴x₁=0.1，x₂=－3.1(舍去)．

　　∴x=0.1=10%．答：略．

　　说明：这道题既涉及统计，又涉及一元二次方程的应用．要求同学们从实际出发，适时作出决策．

　　八、航海与台风．

　　例8 如图4,一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台

海里的圆形区域(包括边界)都属于台风区．当轮船到A处时测得台风中心移动到位于点A的正南方向B处，且AB=100海里．

　　(1)若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间，若不会，请说明理由；

　　(2)现轮船自A处立即提高速度，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前，到达D港，问船速至少应提高多少(提

(98年河北省中考试题)

　　解：(1)设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t/小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t，AE=AB-BE

　　在Rt△AEC中，AC²+AE²=EC²，

　　t²－4t +3=0，

　　∵△=(－4)²－4×1×3=4＞0，

　　∴途中会遇到台风．解方程，得t₁=1，t₂=3．

　　∴最初遇到台风的时间为1小时．

　　(2)设台风抵达D港时间为x小时，此时台风中心至M点．过D作DF⊥AB于F，连结DM．在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°∴DF

　　整理，得4x²－26x+39=0．

　　∴为使台风抵达D港之前轮船到达D港，轮船至少应提速6海里/时．

　　说明：这是一道决策加探索的试题，如决策有误，后果不堪设想，解这类试题首先要弄清词意如正南方向、东偏北等，正确画出图形，运用题意及图形性质建立方程，最终获解．

　　综上所述，此类应用题一般文字较多，篇幅较长，数量关系较分散，因此在解题时要冷静耐心地阅读内容，把握重点词句，紧扣题设条件，把实际问题转化为数学问题，找出有关的数学关系及等量式，即易获解．