浙江省永康县一中　李康海

　　数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，求解数列题往往涉及到重要的数学思想方法，对学生的能力要求较高。因此，数列问题成为历年高考的热点内容，本文以高考题为实例，谈谈求解高考数列题的常用策略。

　　一、化归转化策略

　　数列问题常可化归为等差（等比）数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解；又由于数列的通项公式及求和公式可看成是关于的函数，因此，也可将数列问题转化成函数问题去解决。

例1、设是正数组成的数列，其前项和为，且对所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项，求数列的通项公式。 （1994年全国高考试题）

解：由题意，得。当≥2时，，整理得：

，故数列是首项为2，公差为4的等差数列，。

例2、设为数列的前项和，，数列通项公式为。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，则称为数列与的公共项。将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明数列的通项公式为；

（3）略。 （1996年上海高考试题）

解：（1）由已知，当时，，解得，当时，，解得。∴数列是首项为3，公比为3的等比数列，故。

（2）易知不是数列中的项，是数列中的第6项。设是数列中的第项，则，，不是数列中的项。又，是数列中的项。因此，，。

评析：解（2）的关键是由题设得出这一关系式，难点是运用分类思想进行归纳、判断，得出的通项公式，分类是按除以3的余数来进行讨论。该题应用了化归、分类等思想，是一道反映高考动向，考察学生能力的好题。

例3、设等差数列的前项和为，已知。

（1）求公差的取值范围；

（2）指出中哪一个值最大，并说明理由。 （1992年全国高考试题）

解：（1）由题意，即，又，∴，代入(1)，(2)得。

（2），

，因为＜0，且当时，

，由二次函数的知识得时，最大，即最大。

二、整体思维策略

　　在解题时，运用数列的性质，如等差数列中，；等比数列 中，（其中）等等，进行整体思考，可以简化解题过程，优化解题质量，

例4、等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（ ）。

（A）130； （B）170； （C）210； （D）260。 （1996年全国高考试题）

解：由等差数列的性质，有，。

例5、设是由正数组成的等比数列，是其前项和，证明

。 （1995年全国高考试题）

证明：设的公比为，由得

，

，故。

三、特殊探测策略

　　通过对某些特殊情形的观察、探索，猜测出问题的一般结论，然后运用数学归纳法或其它方法加以证明。这种策略是解数列题的常用策略之一。

例6、是否存在常数，使等式对一切自然数都成立，并证明你的结论。 （1989年全国高考试题）

解：令得：，解得，猜测：

对一切自然数都成立。易用数学归纳法给予证明（略）

例7、若，那么是否可依某个次序组成等比数列？若能，求出的值；若不能，说明理由。 （1995年咸阳市高考诊断试题）

解：当时，。从而猜测可能按的次序成等比数列。若成等比数列，则，解得，∴满足，故可按的次序组成等比数列，此时。

四、递推探求策略

　　对于有些数列问题，我们可以建立起一个递推关系式，根据递推关系的性质进行探求。

例8、设数列的前项和为，且，（其中是与无关的常数，且）。试写出用和表示的表达式。 （1987年全国高考试题）

解：，当时，

，

故，

继续用递推式（1）代下去，即得，

五、分类讨论策略

　　所谓分类讨论策略，是指解题时根据数列的有关公式，如，且；等比数列求和公式等；或根据问题的特点进行分类讨论的策略。

例9、已知等比数列的首项，公比且，设数列的通项

，数列、的前项和分别记为，试比较与的大小。 （1989年上海高考试题）

解：。

当时，；当时，，。

故当且时，总有。

又，∴当且时，；当时，；当时，。