构造图形解方程组

　　一构造图形解方程组

　　1、例题：已知x、y、z为正数，且

　　 
求x+y+z的值。

　　2、思路分析：注意到三个方程的结构类似余弦定理（分别视“1”，“3”，“4”为“1²”，“”，“2²”）

　　  a²=b²+c²-2bc cosA，
只要分别令其中的两边夹角为120°即可。

　　3、解题过程

　　  原方程组即

　　  x、y、z＞0 (4)

构造图形：

　　   注意到S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△COA，
且    AB²+AC²=BC²，
∴    △ABC是Rt△.
故   
即   xy+yz+zx=2，       (5)

　　 把方程组相加，得

　　 2(x²+y²+z²)+(xy+yz+zx)=8
把(5)代入，解得

　　    x²+y² +z²=3          (6)
又   (x+y+z)²=(x²+y²+z²)+2(xy+yz+zx)，
∴   (x+y+z)²=3+2×2
∵   x、y、z＞0，
∴   x+y+z=.

　　 4、评析 本题解法关键是求出xy+yz+zx，用纯代数解法是困难的，但数形结合便迎刃而解。  

　　二、构造方程解决平几名题一例
　　1、例题 在正三角形A B C的外接圆弧上任取一点P（P不同于B、C），求证：

　　 （1）PB+PC=PA；

　　 （2）PB·PC=PA²-AB²；

　　 （3）PA≤；

　　 （4）PA²+PB²+PC²=2AB²

　　2、思路分析。本题可用纯粹几何的办法，借助全等形和相似形的工具来证明，但是注意到题断中有“PB+PC”和“PB·PC”，令人联想到一元二次方程中的韦达定理，于是启发我们试试能否构造二次方程，并借助二次方程的有关性质来统一证明本例。

　　3、证明

　　 设正△ABC边长为a，外接圆半径为R.

　　 （１）当P是中点时，易证AP是圆的直径，BP=PC=半径R，AB=，所有题断皆成立[（3）中不等式取等号]。

　　 （２）当P不是中点 时，PB≠PC.但易见∠1=∠2=60°，分别考查△PAB和△PAC，由余弦定理，有

　　 AB²=PA²+PB²-PA·PB（=a²），

　　 AC²=PA²+PC²-PA·PC（=a²）.
即

　　 PB²-PA·PB+（PA²-a²）=0.      （1）

　　 PC²-PA·PC+（PA²-a²）=0. 　 （2）

　　 观察（１）、（２）的结构，又由PB≠PC可见PB、PC是下面的二次方程

　　 x²-PA·x+（PA²-a²）=0的二实根，由韦达定理及判别式就有：

　　 PB+PC=PA；                   （3）

　　 PB·PC=PA²-a²；               （4）

　　 △=PA²-4（PA²-a²）＞0，即

　　 3PA²＜4a²，

　　 PA＜；

　　 即PA＜.

　　 再把（4）代入，得

　　 PB²+PC²+2（PA²-a²）=PA²，

　　 移项即得

　　 PA²+PB²+PC²=2a²，
即

　　 PA²+PB²+PC²=2AB²（证毕）

　　4、评析：这里的构造方程证明平几问题，不同于解析法证明平几问题，本题若用解析法来做，计算量更要大得多，联想及构造是重要的数学思维方法，借鉴本题的解法，可开阔视野，丰富解题思路。