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贪心策略的特点与在信息学竞赛中的应用(四)
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[例4]最佳浏览路线问题 试题描述 某旅游区的街道成网格状(见图),其中东西向的街道都是旅游街,南北向的街道都是林荫道。由于游客众多,旅游街被规定为单行道。游客在旅游街上只能从西向东走,在林荫道上既可以由南向北走,也可以从北向南走。 阿隆想到这个旅游区游玩。他的好友阿福给了他一些建议,用分值表示所有旅游街相邻两个路口之间的道路值得浏览得程度,分值从-100到100的整数,所有林荫道不打分。所有分值不可能全是负值。 例如下图是被打过分的某旅游区的街道图: 阿隆可以从任一路口开始浏览,在任一路口结束浏览。请你写一个程序,帮助阿隆寻找一条最佳的浏览路线,使得这条路线的所有分值总和最大。 试题背景 这道题同样出自NOI97,'97国际大学生程序设计竞赛的第二题(吉尔的又一个骑车问题)与本题是属于本质相同的题目。 试题分析 由于林荫道不打分,也就是说,无论游客在林荫道中怎么走,都不会影响得分。因题可知,若游客需经过某一列的旅游街,则他一定要经过这一列的M条旅游街中分值最大的一条,才会使他所经路线的总分值最大。这是一种贪心策略。贪心策略的目的是降维,使题目所给出的一个矩阵便为一个数列。下一步便是如何对这个数列进行处理。在这一步,很多人用动态规划法求解,这种算法的时间复杂度为O(n2),当林荫道较多时,效率明显下降。其实在这一步我们同样可以采用贪心法求解。这时的时间复杂度为O(n)。 §6.1.2 贪心策略在求P类较优解问题中的应用 正如其他学科奥林匹克竞赛一样,国际信息学奥赛的发展同样经历了一个逐步成熟的发展过程。回顾十余年赛事的发展,我们不妨将国际信息学奥赛的发展分为两个阶段:第一阶段是1989-1996年,这一时期奥赛题目的特点是:试题全部为P类问题,且只允许求最优解,题目的设计强调对选手基本算法的掌握。第二阶段为1997年至今。在南非举行的IOI97中,命题方向一举突破传统模式,NPC类问题在竞赛中大量出现,每道题目到具有一定的实际背景,引进了崭新的程序评测机制。在求解P类问题时允许得出较优解并得到相应的分数。这些变化无疑更好地考察了选手的综合素质。在对P类较优解问题的求解过程中,贪心策略无疑扮演着重要角色。IOI97中的障碍物探测器问题便是运用贪心策略来求得较优解的P类问题。 当探测车数量为3时,我们可以收集到全部的16个岩石。 探测车收集岩石数≈探测车所游历的地图空间 让每一辆探测车收集尽可能多的岩石,也就是让探测车经过尽可能大的地图空间。所以在探测车数量逐渐增多时,所有探测车所经过的地图空间越多,收集到的岩石也就越多,此时也就越接近最优解。
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