[问题描述]
　　对于给定的正整数N，判断是否存在正整数E，使的前若干位与N相同，且N的长度小于的长度的一半。若存在，求出最小的E。

[分析]
　　我们先证明"no power of 2"是不会出现的。
引理 　
　　如果a是无理数，那么对任意的e>0和b，存在无穷多的整数m, n使得 。该结论可由"丢番图逼近论"证明得到．

证明 　
　　由引理，
　　　　　　　，
满足该式的m, n无穷多．
　　得到
　　　　　　　
　　化简得
　　　　　　
　　于是
　　　　　　
　　这里开头就是N．
　　证毕．

　　受上面证明过程的启发，我们得到了这题的如下解法：

　　设N的位数为L，则 ．
　　因为满足要求的E总存在，可设 ，
　　所以 ．
　　设 ，
　　于是 ．
　　要使整数E存在，必须 ．
　　所以我们从L开始枚举K，直到 ．于是所求的 ．

[说明]
　　该题这样在理论上是可解的，但实际上受编程语言的精度限制，并不是总能求得解。所以也可以枚举E，但高精度计算时只要算前若干位就够了。这点留给各位继续思考。