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沙龙之《无线电测向》解题报告
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福州一中 陈元凯 我们在解题前一共得到了这些信息：各灯塔所在位置的坐标、船的航行方向、船航行方向和船与其中两个灯塔所在直线的夹角。我们能否先求出船与灯塔所在直线的倾斜角，由于我们又知道该灯塔的坐标，于是就可以得到该直线的点斜式方程；再通过解直线方程组，得到的两直线交点坐标即为当前船所在的位置。 于是本题的难点就在于如何求船与灯塔所在直线的倾斜角。 如下图，我们假设船位于S，接收到来自灯塔A，B的信号，而船的航行方向是有向线段 SP。可想而知，直线的倾斜角一定与船的航向以及该直线与船航向的夹角有关。以直线AS为例，由于船的航向α是从正北开始按顺时针用度表示，所以图中的∠NSP=360°-α；因为直线AS与船的航行方向的夹角β也是从船的航行方向开始顺时针表示，所以，∠ASP=360°-β。那么，直线AS的倾斜角该如何表示呢？从图中看，∠AS E即为直线AS的倾斜角，而∠ASE= (∠ASP +∠NSP)+ 90° = [ (360°-α) + (360°- β) ] + 90° ，对以上等式进行整理，直线 AS 的倾斜角= 90°- (α+β ) + 720°。 对于其它情况，结果是否还是这样呢？我们再对其它情况 ( 例如有向线段S P 在不同的象限 ，直线与航向的夹角也各不相同) 进行类似的做法，发现存在一个普遍的结论：直线倾斜角= 90°- ( α+β) + K * 360°，其中 K∈Z 。 到此，问题已经解决一半了，接下来，我们该做的只是列出直线方程，并且解出它们的交点。  我们知道，直线斜率等于该直线倾斜角的正切值，由于Tan是周期为180°的周期函数，所以直线斜率 K=T a n[ 90°- (α+β) ]。设该直线对应灯塔坐标为 ( X1，Y1 ) ，该直线方程就可以表示成 ：Y= K (X - X1)+Y1。因为我们知道两个灯塔的信息，用同样的方法我们也可以得到另外一个直线方程。联立方程，解出交点坐标就不困难了。 然而在解题时，我们还要注意一些问题： 1、在 TURBO PASCAL 中，没有三角函数T a n ，但可以用 S i n 和 C o s 计算出来； 2、在 TURBO PASCAL 中，三角函数的定义域是用弧度表示的，因此在计算斜率之前，我们必须将角度转成弧度； 3、当直线斜率不存在 ( 即直线倾斜角等于90°) 时，我们知道，当角度无限趋近于90°时，T a n 的取值就无限趋近于正无穷或负无穷，因此我们可以取一个很大或很小的数 ( 如1E20 等 ) 来表示此时的T a n值，这不会影响到计算结果。 也许，解这道题的方法不止这一种，但无疑地，以上的解法是最便捷的。得到这种解法的关键就在于对题目所给出的信息的正确运用以及对出题者本意的准确把握。我们在审题时应该注意到本题给出的是两条不定直线和一些关于角度的信息，而待求点即为这两条直线的交点。如果再仔细地考虑一下，我们会发现确定这两条直线是达到目标的必经途径。于是解题的框架就大致地出来了。 程序清单： |
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